1/1+x的泰勒展开式是x-x^2+……+x^(2n-1) -x^2n。 实际上x/(x+1) =1 -1/(x+1) 而1/(x+1)展开等于1-x+x^2-……+x^2n。 于是得到x/(x+1)...，以下是对"1/1+x的泰勒展开"的详细解答!
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1/1+x的泰勒展开式是什么
1/1+x的泰勒展开式是x-x^2+……+x^(2n-1) -x^2n。
实际上x/(x+1)
=1 -1/(x+1)
而1/(x+1)展开等于1-x+x^2-……+x^2n。
于是得到x/(x+1)展开得到：
x-x^2+……+x^(2n-1) -x^2n。
泰勒公式展开的技巧：
泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2！)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n！)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①。
令x=a则a0=f(a)。
将①式两边求一阶导数，得f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②。
令x=a，得a1=f'(a)。
对②两边求导，得f"(x)=2！a2+a3(x-a)+……
令x=a，得a2=f''(a)/2！。
继续下去可得an=f(n)(a)/n！。
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算***值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理。f(b)=f(a)+f(ε)(b-a)，ε介于a与b之间。
请问1/(1+x)的泰勒展开式是什么
(1+x)^a的泰勒展开式1+C(a,1)x+C(a,2)x²+C(a,3)x³+....=1+ax+a(a-1)/2! x²+a(a-1)(a-2)/3! x³+。。。。。其中把a=-1代入上面公式即可。
泰勒公式
是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里***叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，***提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
泰勒级数（英语：Taylor series）
用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
1/1+x的泰勒展开式是怎么样的
1/（1+x)=1/[1-(-x)]=1-x+x^2-x^(-3)+...=sum{(-1)^k*x^k，k=0..infinity}。
分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。
几何意义：
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。
一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式***及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）
如何用泰勒展开法计算1+1/x的***
具体回答如下：
im (1+1/x)^x 。
=lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] 。
= e^ lim [ x ln (1+1/x)]。
x-->无穷大 1/x--> 0。
此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）。
lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1。
原式= e^ 1 = e。
***的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求***，可以将该点直接代入得***值，因为连续函数的***值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。
3、利用无穷大与无穷小的关系求***。
4、利用无穷小的性质求***。
5、利用等价无穷小替换求***，可以将原式化简计算。
6、利用两个***存在准则，求***，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求***。
